Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 + 3 i \\ 4 - 2 i \\ 0 - 4 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 3 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 3^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 9}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $16$ y $9$ .

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{5^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Suma $16$ y $4$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.12.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.12.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.13

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{25 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.16

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.16.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.16.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.16.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.16.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{1} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.16.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5 + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.17

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{25 + 20 + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.18

Resta $4 i$ de $0$ .

$\sqrt{25 + 20 + {| - 4 i |}^{2}}$

Paso 2.19

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.20

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.21

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0 + 16}}^{2}}$

Paso 2.22

Suma $0$ y $16$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{16}}^{2}}$

Paso 2.23

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{4^{2}}}^{2}}$

Paso 2.24

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{25 + 20 + 4^{2}}$

Paso 2.25

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 20 + 16}$

Paso 2.26

Suma $25$ y $20$ .

$\sqrt{45 + 16}$

Paso 2.27

Suma $45$ y $16$ .

$\sqrt{61}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{61}$

Forma decimal:

$7.81024967 \dots$